已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，（Ⅰ）求过点P(3，5-2)且与圆C相切的直线；（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线m，使得以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，（Ⅰ）求过点P(3，5-2)且与圆C相切的直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-03 07:30:00

试题原文

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）求过点P(3，

5

-2)且与圆C相切的直线；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线m，使得以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆的切线方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为32+(

5

-2)2-2×3+4(

5

-2)-4=0，所以，点P在圆上． …（2分）
又因为圆心C（1，-2）所以 kCP=

5

2

，…（3分）
所以切线斜率k=-

2

5

=

-2

5

，…（4分）
所以方程为y-(

5

-2)=-

2

5

(x-3)，即2x+

5

y-11+2

5

=0．…（6分）
（Ⅱ）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

x2+y2-2x+4y-4=0

y=x+b

可得2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0（*），…（7分）
∴

x1+x2=-(b+1)

x1?x2=

b2+4b-4

2

．…（9分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2．…（10分）
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
即b²+4b-4-b（b+1）+b²=0，b²+3b-4=0，∴b=1，或b=-4．…（12分）
容易验证b=1或b=-4时方程（*）有实根．
故存在这样的直线，有两条，其方程是y=x+1，或y=x-4．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，（Ⅰ）求过点P(3，5-2)且与圆C相切的直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆的切线方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆的切线方程”。

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