设a、b、c都是整数，过圆x2+y2=（3a+1）2外一点P（b3-b，c3-c）向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）．-数学试题及答案

1、试题题目：设a、b、c都是整数，过圆x2+y2=（3a+1）2外一点P（b3-b，c3-c）向圆引..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-03 07:30:00

试题原文

设a、b、c都是整数，过圆x²+y²=（3a+1）²外一点P（b³-b，c³-c）向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆的切线方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵P（b³-b，c³-c），O（0，0），
∴线段OP的中点的坐标为（

1

2

（b³-b），

1

2

（c³-c）），
∴以OP为直径的圆的方程为：[x-

1

2

（b³-b）]²+[y-

1

2

（c³-c）]²=

1

4

（b³-b）²+

1

4

（c³-c）²，（1）
将x²+y²=（3a+1）²代入（1）得：（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，它就是过两切点的直线方程，
假设此切线方程存在格点，
由b³-b=b（b-1）（b+1），得到它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，
同理，c³-c亦能被3整除，
∴（3a+1）²能被3整除，
∴3a+1也必须能被3整除，
显然这是不可能的，
则过这两切点的直线上的任意一点都不是格点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a、b、c都是整数，过圆x2+y2=（3a+1）2外一点P（b3-b，c3-c）向圆引..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆的切线方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆的切线方程”。

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