设0＜θ＜π2，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设0＜θ＜π2，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设0＜θ＜

π

2

，曲线x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1有4个不同的交点．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组

x2sinθ+y2cosθ=1

x2cosθ-y2sinθ=1

即

x2=sinθ+cosθ

y2=cosθ-sinθ.

有4个不同交点等价于x²＞0，且y²＞0，即

sinθ+cosθ＞0

cosθ-sinθ＞0.

又因为0＜θ＜

π

2

，所以得θ的取值范围为（0，

π

4

)．
（II）证明：由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程x2+y2=2cosθ(0＜θ＜

π

4

)，
即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为r=

2cosθ

(0＜θ＜

π

4

)．
因为cosθ在(0，

π

4

)上是减函数，所以由cos0=1，cos

π

4

=

2

，
知r的取值范围是(

4	2

，

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设0＜θ＜π2，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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