如图，点A（-a，0），B（23，43）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，点A（-a，0），B（23，43）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

如图，点A（-a，0），B（

2

3

，

4

3

）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由B（

2

3

，

4

3

），C（0，1），得直线BC方程为y=

1

2

x+1．
令y=0，得x=-2，∴a=2．
将B（

2

3

，

4

3

）代入椭圆方程，得

4

9

4

+

16

9

b2

=1．
∴b²=2．
椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）①当PQ与x轴垂直时，|PQ|=2

2

；
②当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y=kx+1（k≥0），
代入椭圆方程x²+2y²-4=0，得x²+2（kx+1）²-4=0．
即（2k²+1）x²+4kx-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 x1，2=

-2k±

8k2+2

2k2+1

．
则|x₁-x₂|=

2

8k2+2

2k2+1

．
|PQ|=

1+k2

?

2

8k2+2

2k2+1

．
∴|PQ|²=

8(1+k2)(4k2+1)

(2k2+1)2

=8(1+

k2

4k4+4k2+1

)
=8?(1+

1

4k2+

1

k2

+4

)．
∵4k2+

1

k2

≥ 2

4k2?

1

k2

=4，在k=

2

时取等号，
∴|PQ|²=8?(1+

1

4k2+

1

k2

+4

)∈（8，9]．则PQ∈(2

2

，3]．
由①，②得PQ的取值范围是[2

2

，3]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，点A（-a，0），B（23，43）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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