已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线l：x=a2c与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，又OA=2OB，OA?OC=2，过点F的直线m与双曲线右支-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线l：x=

a2

c

与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，又

OA

=2

OB

，

OA

?

OC

=2，过点F的直线m与双曲线右支交于点M，N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断B，P，N三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形BMN面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

OA

=2

OB

，

OA

?

OC

=2，
∴

a=2×

a2

c

a×

a2

c

=2

，∴a²=4，c=4
∴b²=c²-a²=12
∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）由（1）可知B（1，0），F（4，0），
由题意直线m的斜率不为0，所以设直线m的方程为x=ty+4，代入

x2

4

-

y2

12

=1整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则P（x₁，-y₁）．
由韦达定理知y1+y2=-

24t

3t2-1

，y1y2=

36

3t2-1

，
所以

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)．
因为（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-y₁-y₂=2ty1y2+3(y1+y2)=2t

36

3t2-1

+3(-

24t

3t2-1

)=0
∴向量

BP

，

BN

共线，所以B，P，N三点共线．
（3）因为直线m与双曲线右支交于点M，N，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）＞0，得t2＜

1

3

．
∴S△BMN=

1

2

|BF||y1-y2|=

1

2

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

=

6

3

3+3t2

1-3t2

，
令u=1-3t²，则u∈（0，1]，S△BMN=

6

3

4-u

u

=6

3

4

u2

-

1

u

=6

3

4(

1

u

-

1

8

)2-

1

16

，
又

1

u

∈[1，+∞)，所以

1

u

=1，即t=0时，三角形BMN面积的最小值18．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：