已知函数f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）（a＞0且a≠1）（1）讨论f（x）的奇偶性与单调性；（2）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-12＜x＜12}，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）（a＞0且a≠1）（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）讨论f（x）的奇偶性与单调性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

1+x＞0

1-x＞0

，∴f（x）定义域为x∈（-1，1）
∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
∴f（x）为奇函数；
∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
∴f(x)=loga

1+x

1-x

，
求导得f′(x)=

1-x

1+x

?logae?(

1+x

1-x

)′=

2

1-x2

logae，
①当a＞1时，f'（x）＞0，∴f（x）在定义域内为增函数；
②当0＜a＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在定义域内为减函数；
（2）①当a＞1时，∵f（x）在定义域内为增函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(

1

2

)=2，∴log_a3=2，∴a=

3

；
②当0＜a＜1时，
∵f（x）在定义域内为减函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(-

1

2

)=2，∴loga

1

3

=2，∴a=

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）（a＞0且a≠1）（..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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