已知函数f(x)=4exex+1（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=4exex+1（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

4ex

ex+1

（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．
（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；
（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=

4ex

(ex+1)2

=

4

ex+

1

ex

+2

≤1，导函数f′（x）的值域（0，1]，
（2）设g（x）=f（x）-x，则g′（x）=f′（x）-1≤0，所以g（x）在R上是减函数，
∵a＞t，方程f（x）=x的一个根为t，即g（t）=0，
∴g（a）＜g（t）=0，而g（a）=f（a）-a
∴f（a）-a＜0，f（a）＜a，f（a）=b，即a＞b；
设h（x）=f（x）+x，则h′（x）=f′（x）+1≥0，
∴h（x）在R上是增函数，又a＞b，
∴h（a）＞h（b），
即a+f（a）＞b+f（b）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=4exex+1（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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