发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-16 07:30:00
| 试题原文 |
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| （1）f′（x）=ex-x，f''（x）=ex-1 当x∈（-∞，0）时，f''（x）=ex-1＜0，即f′（x）在区间（-∞，0）上为减函数； 当x∈[0，+∞）时，f''（x）=ex-1≥0，即f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数； 于是f′（x）的最小值为f′（0）=1． （2）证明：不妨设x1≤x2，构造函数K（x）=f（λ1x+λ2x2）-λ1f（x）-λ2f（x2）（x∈[0，x2]）， 则有K（x2）=f（λ1x2+λ2x2）-λ1f（x2）-λ2f（x2）=0， 则K′(x)=λ1f′(λ1x+λ2x2)-λ1f′(x)=λ1(f′(λ1x+λ2x2)-f′(x))， 而λ1x+λ2x2-x=（λ1-1）x+λ2x2=λ2（x2-x）≥0，所以λ1x+λ2x2≥x， 由（1）知f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数， 所以f′(λ1x+λ2x2)-f′(x)≥0，即K′（x）≥0， 所以K（x）在[0，x2]上单调递增， 所以K（x）≤K（x2）=0，即f（λ1x1+λ2x2）≤λ1f（x1）+λ2f（x2）． （3）先证对任意的x1，x2，x3∈[0，+∞）和实数λ1≥0，λ2≥0，λ3≥0，且λ1+λ2+λ3=1， 总有f（λ1x1+λ2x2+λ3x3）≤λ1f（x1）+λ2f（x2）+λ3f（x3），f(λ1x1+λ2x2+λ3x3)=f((λ1+
=λ1f（x1）+λ2f（x2）+λ3f（x3）， 令λ1=λ2=λ3=
当x1≥0，x2≥0，x3≥0且x1+x2+x3=3时，有f(x1)+f(x2)+f(x3)≥3f(
所以f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为3e-
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ex-12x2，其导函数为f′（x）．（1）求f′（x）的最小值；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。