已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf‘（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf‘（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=lnx+

1

x

，
xf'（x）=xlnx+1，
题设xf'（x）≤x²+ax+1等价于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，则g′(x)=

1

x

-1
当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=-1
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+

1

x

-1)=lnx-x(ln

1

x

-

1

x

+1)≥0
所以（x-1）f（x）≥0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf‘（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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