已知1＜m＜n，m，n∈N*，求证：（1+m）n＞（1+n）m．-数学试题及答案

1、试题题目：已知1＜m＜n，m，n∈N*，求证：（1+m）n＞（1+n）m．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-28 07:30:00

试题原文

已知1＜m＜n，m，n∈N^*，求证：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：排列与组合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：要证（1+m）ⁿ＞（1+n）^m
只要证nln（1+m）＞mln（1+n）
即

ln(1+m)

m

＞

ln(1+n)

n

．
构造函数令f（x）=

ln(1+x)

x

，x∈[2，+∞），
只要证f（x）在[2，+∞]上单调递减，
只要证f′（x）＜0．
∵f′（x）=

[ln(1+x)]′x-x′?ln(1+x)

x2

=

x-ln(1+x)(1+x)

x2(1+x)

．
当x≥2时，x-lg（1+x）^（1+x）＜0，
x²（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]时，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知1＜m＜n，m，n∈N*，求证：（1+m）n＞（1+n）m．..”的主要目的是检查您对于考点“高中排列与组合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中排列与组合”。

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