设F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左右焦点，过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A、B．（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的长；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M，使得MA?MB为常数？若存在，求出M点的坐-数学试题及答案

1、试题题目：设F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左右焦点，过左焦点F1作直线l与椭圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

设F₁，F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左右焦点，过左焦点F₁作直线l与椭圆交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的长；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M，使得

MA

?

MB

为常数？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，A(-

3

，

1

2

)，B(-

3

，-

1

2

)，此时OA与OB不垂直．（2分）
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x+

3

)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程

y=k(x+

3

)

x2+4y2=4

，整理得(4k2+1)x2+8

3

k2x+12k2-4=0（4分）x1+x2=

-8

3

k2

4k2+1

，x1x2=

12k2-4

4k2+1

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=x1x2+k2x1x2+

3

k2(x1+x2)+3k2=0

3

k2?

-8

3

k2

4k2+1

+(1+k2)?

12k2-4

4k2+1

+3k2=0
解得k2=

4

11

（6分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

20

9

（8分）
（Ⅱ）设M（m，0）为x轴上一点

MA

?

MB

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2

=

12k2-4

4k2+1

-m?

-8

3

k2

4k2+1

+m2-

k2

4k2+1

=

(4m2+8

3

m+11)k2+m2-4

4k2+1

（12分）
若

MA

?

MB

为定值，则有

4m2+8

3

m+11

m2-4

=

4

1

，解得m=-

9

3

8

所以存在点M(-

9

3

8

， 0)使得

MA

?

MB

为定值．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左右焦点，过左焦点F1作直线l与椭圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：