已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，32)，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存直线l，满足PA?PB=PM2？若-数学试题及答案

1、试题题目：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

1

2

，且经过点M(1，

3

2

)，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存直线l，满足

PA

?

PB

=

PM

2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：朝阳区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由题意得

1

a2

+

9

4b2

=1

c

a

=

1

2

a2=b2+c2.

解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）+1，
由

x2

4

+

y2

3

=1

y=k(x-2)+1

得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4?（3+4k²）?（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得k＞-

1

2

．
又x1+x2=

8k(2k-1)

3+4k2

，x1x2=

16k2-16k-8

3+4k2

，
且

PA

?

PB

=

PM

2，即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

，
所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=|PM|2=

5

4

．即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=

5

4

．
所以[

16k2-16k-8

3+4k2

-2

8k(2k-1)

3+4k2

+4](1+k2)=

4+4k2

3+4k2

=

5

4

，解得k=±

1

2

．
所以k=

1

2

．于是存在直线l满足条件，其的方程为y=

1

2

x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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