已知椭圆：x2a2+y2b2=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于32．（1）求椭圆的方程．（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆：x2a2+y2b2=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于

3

2

．
（1）求椭圆的方程．
（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F₁F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线QF₁的倾斜角为

π

6

，求△QF₁F₂的面积；
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．

试题来源：红桥区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，b=1，因为离心率等于

3

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
所以椭圆方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）F₁（-

3

，0），直线QF₁：y=

3

(x+

3

)，代入

x2

4

+y2=1中，
得xQ=-

8

3

7

，yQ=-

1

7

，又|F1F2|=2

3

，
所以S△QF1F2=

1

2

|F1F2||yQ|=

3

7

；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1

x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得xA=-

8k

1+4k2

①，
由

y=-

1

k

x+1

x2+4y2=4

，得（k²+4）x²-8kx=0，解得xC=-

8k

4+k2

②，
因为|AB|=|BC|，得：xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
将y_A=kx_A+1，yC=-

1

k

xC+1代入得：
xA2(1+k2)=xC2(1+

1

k2

)，k2xA2=xC2，
将①②代入得：k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0，
因为k＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=

3+

5

2

，k=

3-

5

2

，
所以存在这样的等腰直角三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆：x2a2+y2b2=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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