已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段.AB所成的比为2，求线段-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为23．（Ⅰ）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为

2

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段

.

AB

所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1（b＞a＞0）（1分）
由焦距为4，可得2c=4，∴c=2，
又

c

a

=

2

3

，故a=3（2分）
∴b²=a²-c²=5，
∴所求椭圆方程为

x2

5

+

y2

9

=1（3分）
（Ⅱ）M坐标为（0，2），设A点在B点的左方，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AM

MB

=2，故有2=

y1+2y2

1+2

（5分）即y₁+2y₂=6，
又M相应的准线方程是y=

a2

c

=

9

2

，A到准线距离d1=

9

2

-y1，B到准线距离d2=

9

2

-y2（6分），
∵

|AM|

d1

=e=

2

3

，

|BM|

d2

=

2

3

（7分）
∴|AM|=

2

3

(

9

2

-y1)， |BM|=

2

3

(

9

2

-y2)，
∴

|AM|

|BM|

=

3-

2

3

y1

3-

2

3

y2

=2得4y₂-2y₁=9②
②与①联立解得y1=

3

4

，代入椭圆方程得x1=

5

3

4

，
∴直线AB的斜率k=

3

4

-2

5

3

4

-0

=

3

（9分），
∴AB的方程为y=

3

x+2（10分），
如果点在B的右方时根据对称性，则所求直线AB的方程为y=-

3

x+2．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为23．（Ⅰ）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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