已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为5π6，原点到该直线的距离为32．（1）求椭圆的方程；（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若MD=2-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

5π

6

，原点到该直线的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若

MD

=2

DN

求直线MN的方程；
（3）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

5π

6

，可得

b

a

=

3

，
∵

1

2

ab=

1

2

×

3

2

×

a2+b2

，得a=

3

，b=1，
∴椭圆方程是：

x2

3

+y2=1 （3分）
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入

x2

3

+y2=1，得（t²+3）y²+2ty-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

MD

=2

DN

，得y₁=-2y₂．
由y₁+y₂=-y₂=-

2t

t2+3

，y₁y₂=

-2

t2+3

（6分）
得-2(

2t

t2+3

)2=

-2

t2+3

，∴t=-1，t=1（舍去）
直线MN的方程为：x=-y+1即x+y-1=0 （8分）
（3）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，得（3k₂+1）x²+12kx+9=0（*）
记P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即（x₃-1）（x₄-1）+y₃y₄=0，
又y₃=kx₃+2，y₄=kx₄+2，得（k²+1）x₃x₄+（2k-1）（x₃+x₄）+5=0 ①
又x₃+x₄=-

12k

3k2+1

，x₃x₄=

9

3k2+1

，代入①解得k=-

7

6

（11分）
此时（*）方程△＞0，∴存在k=-

7

6

，满足题设条件．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

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