设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点-数学试题及答案

1、试题题目：设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．
（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线L的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设C（x，y）（xy≠0），∵MG∥AB，可设G（a，b），则M（0，b）．
∴a=

-1+1+x

3

，b=

0+o+y

3

，即 x=3a，y=3b （1）．
∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即

1+b2

=

x2+(b-y)2

（2）．
由（1）（2）得 x2+

y2

3

= 1．所以，三角形顶点C的轨迹方程为 x2+

y2

3

= 1，（xy≠0）．
（II）设直线l的方程为 y=kx+1，P（ x₁，y₁），N （x₂，y₂），
由

y = kx + 1

x2+

y2

3

= 1

消y得（3+k²）x²+2kx-2=0．∵直线l与曲线D交于P、N两点，
∴△=b²-4ac=4k²+8（3+k²）＞0，x₁+x₂=-

2k

3+k2

，x₁?x₂=-

2

3+k2

．
∵OP⊥ON，∴x₁?x₂+y₁y₂=0，∴x₁?x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
∴1+k²（-

2

3+k2

）+k （-

2k

3+k2

）+1=0，∴k=±

3

，
∴直线l的方程为 y=±

3

x+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

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