已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）．（1）若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；（2）证明{an}不可能是等比数列；（3）若a1=-1，是否存在实数k和b使得数列{an+kn+b}是等-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）．（1）若{an}是等差数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1（n=1，2，3，…）．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，是否存在实数k和b使得数列{ a_n+kn+b}是等比数列，如存在，求出{a_n}的前n项和，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∵{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，∴2（2a₁+2）=a₁+（4a₁+7），∴a₁=-3，a₂=-4
∴d=a₂-a₁=-1；
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，则a22=a1a3
∴（2a₁+2）²=a₁（4a₁+7），∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
∵a₄=2a₃+4=-14，∴a32≠a2a4与等比数列矛盾
∴假设不成立
∴{a_n}不可能是等比数列；
（3）假设存在，则有

an+1+k(n+1)+b

an+kn+b

=

2an+k(n+1)+k+b+1

an+kn+b

=常数
∴

k+1=2k

k+b+1=2b

，∴

k=1

b=2

∴{a_n+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2
∴a_n+n+2=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-n-2
∴{a_n}的前n项和为

2(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-2n=2n-

n2

2

-

5n

2

-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）．（1）若{an}是等差数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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