已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（≥2，且n∈N*）（1）求证：数列{an2n}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：Sn2n＞2n-3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（≥2，且n∈N*）（1）求证：数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求证：

Sn

2n

＞2n-3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1
∴数列{

an

2n

}是以

1

2

为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得

an

2n

=

1

2

+(n-1)?1=n-

1

2

∴a_n=(n-

1

2

)?2n；
（3）∵S_n=

1

2

?21+

3

2

?22+…+(n-

1

2

)?2n
∴2S_n=

1

2

?22+

3

2

?23+…+(n-

1

2

)?2n+1
两式相减可得-S_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-(n-

1

2

)?2n+1=（3-2n）?2ⁿ-3
∴S_n=（2n-3）?2ⁿ+3＞（2n-3）?2ⁿ
∴

Sn

2n

＞2n-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（≥2，且n∈N*）（1）求证：数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：