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1、试题题目：已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}的通项cn=bn?(
1
3
)n，求数列{cn}的前n项和Rn；
（3）若数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，问Tn＞
1000
2009
的最小正整数n是多少？

  试题来源：惠州模拟   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等差数列的通项公式



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）因为点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
所以f(1)=a=
1
3
，所以，f(x)=(
1
3
)x．
因为等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，
所以a1=f(1)-c=
1
3
-c，
a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(
1
3
)2-c-
1
3
+c=-
2
9
，
a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(
1
3
)3-c-(
1
3
)2+c=-
2
27
．
又数列{an}成等比数列，所以，a1=
a22
a3
=
4
81
-
2
27
=-
2
3
=
1
3
-c，所以c=1．
所以
1
3
-1=-
2
3
．
又公比q=
a3
a2
=
-
2
27
-
2
9
=
1
3

所以an=-
2
3
(
1
3
)n-1=-2(
1
3
)n．
由数列{bn}的前n项和满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
则(
Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1
  （n≥2），
又bn＞0，
Sn
＞0，所以
Sn
-
Sn-1
=1．
所以，数列{
Sn
}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则
Sn
=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
满足b1=c=1．
所以，bn=2n-1(n∈N*)；
（2）由cn=bn(
1
3
)n=(2n-1)(
1
3
)n，
所以Rn=c1+c2+c3+…+cn=1×(
1
3
)1+3×(
1
3
)2+5×(
1
3
)3+…+(2n-1)×(
1
3
)n①
两边同时乘以
1
3
得：
1
3
Rn=1×(
1
3
)2+3×(
1
3
)3+5×(
1
3
)4+…+(2n-3)×(
1
3
)n+(2n-1)×(
1
3
)n+1②
①式减②式得：
2
3
Rn=
1
3
+2[(
1
3
)2+(
1
3
)3+(
1
3
)4+…+(
1
3
)n]-(2n-1)×(
1
3
)n+1

化简得：
2
3
Rn=
1
3
+2×
(
1
3
)2[1-(
1
3
)n-1]
1-
1
3
-(2n-1)×(
1
3
)n+1=
2
3
-
2(n+1)
3
×(
1
3
)n

所以Rn=1-
n+1
3n
．
（3）Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1

=
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n-1)(2n+1)

=
1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
)+
1
2
(
1
5
-
1
7
)+…+
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
；
由Tn=
n
2n+1
＞
1000
2009
，得n＞
1000
9
，所以，满足Tn＞
1000
2009
的最小正整数为112．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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