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1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-qan1-q（n∈N*）其中q为非零常数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
2-qan
1-q
（n∈N*）其中q为非零常数，函数f(x)=
1
2
x2+2x-
1
2
，数列{bn}满足bn+1=f′（bn），（n∈N*），b1=f（1），设cn=
1
12
anbn，{bn}的前n项和为Tn，Bn=
1
T1
+
1
T2
+…+
1
Tn
，求An=c1+c2+…+cn．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）当q=
1
3
时，试比较f(
4
3
An)与f（Bn）的大小，并说明理由．

  试题来源：合肥模拟   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等比数列的定义及性质



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）Sn=
2-qan
1-q
?(1-q)Sn=2-qan且q≠1
当n=1时，（1-q）S1=2-qa1?a1=2
当n≥2时，（1-q）Sn-（1-q）Sn-1=qan-1-qan?an=qan-1
∴{an}是以2为首项，公比为q的等比数列．
（Ⅱ） 当q=
1
3
时，由（1）得 an=2(
1
3
)n-1
又 f（x）=
1
2
x2+2x-
1
2
，∴f′（x）=x+2
由bn+1=f′（bn）得bn+1=f′（bn）=bn+2
∴{bn}是以2为首项，公差为2的等差数列，
故bn=2n
∴cn=
1
12
anbn=n(
1
3
)n     Tn=
n(b1+bn)
2
=n（n+1），
Bn=
1
T1
+
1
T2
+…+
1
Tn
=
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
n+1

An=c1+c2+…+cn=1?
1
3
+2(
1
3
)2+…+n(
1
3
)n…①
∴
1
3
An=1?(
1
3
)2+2(
1
3
)3+3(
1
3
)4+…+(n-1)(
1
3
)n+n(
1
3
)n+1…②
①-②得∴
2
3
An=1?(
1
3
)1+(
1
3
)2+(
1
3
)3+…+(
1
3
)n-n(
1
3
)n+1
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
-n(
1
3
)n+1=
1-
1
3n
2
-n(
1
3
)n+1
∴
4
3
An=1-
1
3n
-
2n
3
?
1
3n

∴
4
3
An-Bn=1-
1
3n
-
2n
3
?
1
3n
-1+
1
n+1
=
1
n+1
-
2n+3
3n+1
=
3n+1-(2n2+5n+3)
(n+1)?3n+1

当n=1时，
4
3
An-Bn=
3n+1-(2n2+5n+3)
(n+1)?3n+1
=
9-10
18
＜0
∴
4
3
An＜Bn
当n≥2时，
令g（x）=3x+1-（2x2+5x+3）
则g′（x）=3x+1ln3-（4x+5），g∥（x）=3x+1（ln3）2-4在[2，+∞）上为单调增函数，
∴g∥（x）=3x+1（ln3）2-4≥33（ln3）2-4＞0
∴g′（x）=3x+1ln3-（4x+5）在[2，+∞）上为单调增函数，
g′（x）=3x+1ln3-（4x+5）≥33ln3-9＞27-9＞0
g（x）=3x+1-（2x2+5x+3）在[2，+∞）上为单调增函数，
∴当n≥2时，g（n）=3n+1-（2n2+5n+3）≥33-（2×4+10+3）＞0
即当n≥2时，
4
3
An-Bn=
3n+1-(2n2+5n+3)
(n+1)?3n+1
＞0
∴当n≥2时，
4
3
An＞Bn
又f′（x）=x+2＞0对x≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当n=1时f（
4
3
An）＜f（Bn）
当n≥2时f（
4
3
An）＞f（Bn）．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-qan1-q（n∈N*）其中q为非零常数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。


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