设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．（1）证明：sn=（1+λ）-λan；（2）若数列{bn}满足b1=12，bn=f（bn-1）（n∈N*，n≥2），求数列{bn}的通项公式；（3）若λ-数学试题及答案

1、试题题目：设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，公比q=f(λ)=

λ

1+λ

(λ≠-1，0)．
（1）证明：s_n=（1+λ）-λa_n；
（2）若数列{b_n}满足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若λ=1，记cn=an(

1

bn

-1)，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证；当n≥2时，2≤T_n＜4．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ 1）证明：由等比数列的前n项和公式可得：Sn=

a1-anq

1-q

═

1-an?

λ

1+λ

1-

λ

1+λ

=1+λ-λa_n
（2）∵b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，（n∈N^*，n≥2），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，
∴数列{

1

bn

}是以

1

b1

=2为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

bn

=2+(n-1)×1=n+1，
∴bn=

1

n+1

．
（3）证明：由（1）（2）可知：λ=1时，cn=n?(

1

2

)n-1．
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+(n-1)?(

1

2

)n-1+n?(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n?(

1

2

)n=

1-(

1

2

)n

1-

1

2

-n?(

1

2

)n，
T_n=4-

2+n

2n-1

，
∵f(n)=

2+n

2n-1

＞0，∴

f(n+1)

f(n)

=

3+n

4+2n

＜1，∴f（n）单调递减．
∴n≥2时，f（n）≤f（2）=2，
∴Tn≥4-2=2．
∵f（n）＞0，∴T_n＜4．
∴当n≥2时，2≤T_n＜4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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