设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30-（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{an}的通项；（Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30-（210+1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

设正项等比数列{a_n}的首项a1=

1

2

，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0得2¹⁰（S₃₀-S₂₀）=S₂₀-S₁₀，
即2¹⁰（a₂₁+a₂₂+…+a₃₀）=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀，
可得2¹⁰?q¹⁰（a₁₁+a₁₂+…+a₂₀）=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀．
因为a_n＞0，所以2¹⁰q¹⁰=1，解得q=

1

2

，因而an=a1qn-1=

1

2n

，n=1，2，.
（Ⅱ）由题意知Sn=

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

=1-

1

2n

，nSn=n-

n

2n

.
则数列{nS_n}的前n项和Tn=(1+2++n)-(

1

2

+

2

22

++

n

2n

)，

Tn

2

=

1

2

(1+2++n)-(

1

22

+

2

23

++

n-1

2n

+

n

2n+1

).
前两式相减，得

Tn

2

=

1

2

(1+2++n)-(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)+

n

2n+1

=

n(n+1)

4

-

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

+

n

2n+1

即Tn=

n(n+1)

2

+

1

2n-1

+

n

2n

-2.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30-（210+1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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