在△ABC中，已知3sin2B=1-cos2B．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若BC=2，A=π4，求△ABC的面积．-数学试题及答案

1、试题题目：在△ABC中，已知3sin2B=1-cos2B．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若BC=2，A=π4，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

在△ABC中，已知

3

sin2B=1-cos2B．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若BC=2，A=

π

4

，求△ABC的面积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解法一：因为

3

sin2B=1-cos2B．
所以 2

3

sinBcosB=2sin2B． …（3分）
因为 0＜B＜π，所以 sinB≠0，
从而 tanB=

3

，…（5分）
所以 B=

1

3

π． …（6分）
解法二：依题意得

3

sin2B+cos2B=1
所以 2sin(2B+

π

6

)=1，
即 sin(2B+

π

6

)=

1

2

． …（3分）
因为 0＜B＜π，所以

π

6

＜2B+

π

6

＜

13π

6

，
所以 2B+

π

6

=

5π

6

． …（5分）
所以 B=

1

3

π． …（6分）
（Ⅱ）解法一：因为 A=

π

4

，B=

1

3

π．，
根据正弦定理得

AC

sinB

=

BC

sinA

，…（7分）
所以 AC=

BCsinB

sinA

=

6

…（8分）
因为 C=π-A-B=

5π

12

，…（9分）
所以 sinC=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=

2

+

6

4

，…（11分）
所以△ABC的面积S=

1

2

AC?BCsinC=

3+

3

2

． …（13分）
解法二：因为 A=

π

4

，B=

1

3

π．，
根据正弦定理得

AC

sinB

=

BC

sinA

，…（7分）
所以 AC=

BCsinB

sinA

=

6

…（8分）
根据余弦定理得 AC²=AB²+BC²-2AB?BCcosB，…（9分）
化简为 AB²-2AB-2=0，解得 AB=1+

3

． …（11分）
所以△ABC的面积S=

1

2

AB?BCsinB=

3+

3

2

． …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在△ABC中，已知3sin2B=1-cos2B．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若BC=2，A=π4，..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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