求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a?f（x0）＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-19 07:30:00

试题原文

求证：当f（x）=ax²+bx+c（a≠0）时，方程ax²+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x₀∈R使得a?f（x₀）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：必要性：设方程ax²+bx+c=0有不等实根x₁＜x₂，
根据韦达定理有x1+x2=-

b

a

，x1?x2=

c

a

，
取x₀=

x1+x2

2

=-

b

2a

，代入函数解析式可得
f（x₀）=a(-

b

2a

)2+b(-

b

2a

)+c=

4ac-b2

4a

，
因为方程有两个实根，所以b²-4ac＞0，
所以a?f（x₀）=

4ac-b2

4

＜0成立；
充分性：如果存在x₀使得a?f（x₀）＜0，即a²x²+abx+ac＜0在x=x₀处成立，
因为a²＞0，根据二次函数特点，x=-

ab

2a2

处，a²x²+abx+ac 取得最小值，
为f（-

ab

2a2

）=ac-

b2

4

，既然它是最小值，那么f（-

ab

2a2

）≤f（x₀）＜0，
所以ac-

b2

4

＜0，即b²-4ac＞0，故原方程必然有2个不等实根；
综上可得：方程ax²+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x₀∈R使得a?f（x₀）＜0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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