已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件：（1）f（-1）=0；（2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0；（3）当x∈（0，2）时有f(x)≤(x+12)2．①求f（1）；②求a，b，-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件：
（1）f（-1）=0；
（2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0；
（3）当x∈（0，2）时有f(x)≤(

x+1

2

)2．
①求f（1）；
②求a，b，c的值；
③当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x=1时，由 f（1）-1≥0，且f(1)≤(

1+1

2

)2=1，∴f（1）=1．
（2）设二次函数为f（x）=ax²+bx+c，由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=

1

2

，a+c=

1

2

．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化简得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c =

1

2

，代入化简可得 (a-

1

4

)2 ≤ 0，
∴a=

1

4

，c=

1

4

．
（3）由上可得 f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，∴g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

-mx=

1

4

x2+(

1

2

-m)x+

1

4

，
因为函数g（x）在[-1，1]上单调可知，-

1

2

-m

2×

1

4

≤-1，或-

1

2

-m

2×

1

4

≥1，
解得m≤0，或m≥1．故m的取值范围是{m|m≤0，或m≥1}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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