设函数f(x)=ax-x2-1，（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；（2）求a的取值范围，使得函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=ax-x2-1，（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；（2）求a的取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=ax-

x2-1

，
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范围，使得函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=2时，f（x）≥f（1）可化为：2(x-1)≤

x2-1

，等价于：

x-1≥0

4(x-1)2≤x2-1

①或

x-1＜0

x2-1≥0

②
解①得 1≤x≤

5

3

，解②得 x≤-1．
所以，原不等式的解集为 {x|1≤x≤

5

3

或x≤-1}．
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，则

f(x1)-f(x2)=(ax1-

x12-1

)-(ax2-

x22-1

)

=a(x1-x2)-(

x12-1

-

x22-1

)

=a(x1-x2)-

x12-x22

x12-1

+

x22-1

=(x1-x2)(a-

x1+x2

x12-1

+

x22-1

)

要使函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数，需且只需：a＞

x1+x2

x12-1

+

x22-1

恒成立，（或a＜

x1+x2

x12-1

+

x22-1

恒成立）．
因此，只要求出

x1+x2

x12-1

+

x22-1

在条件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下的最大、最小值即可．
为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：x₁=1，x₂→1，
容易知道，此时

x1+x2

x12-1

+

x22-1

→+∞；
若考虑x₁＜x₂→+∞，则不难看出，此时

x1+x2

x12-1

+

x22-1

→1，至此我们可以看出：要使得函数f（x）为单调函数，只需a≤1．
事实上，当a≤1时，由于x1+x2＞

x12-1

+

x22-1

＞0恒成立，
所以，

x1+x2

x12-1

+

x22-1

＞1．所以，在条件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下，必有：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以，f（x）在区间[1，+∞）上单调递减．
当a＞1时，由（1）可以看出：特例a=2的情况下，存在f(1)=f(

5

3

)．
由此可以猜想：函数f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
为了说明这一点，只需找到x₁，x₂∈[1，+∞），使得f（x₁）=f（x₂）即可．
简便起见，不妨取x₁=1，此时，可求得x2=

a2+1

a2-1

＞1，也即：f(1)=f(

a2+1

a2-1

)=a，所以，f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
另f′(x)=a-

x

x2-1

，对x∈[1，+∞），易知：
当x→1时，

x

x2-1

→+∞；当x→+∞时，

x

x2-1

→1；
所以当x∈[1，+∞）时，

x

x2-1

＞1，
从而只须a≤1，必有f'（x）＜0，函数在x∈[1，+∞）上单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=ax-x2-1，（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；（2）求a的取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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