已知函数f(x)=x2+x+4x，(x＞0)-x2-x+4x，(x＜0).（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）判断并证明函数f（x）在区间（0，2]上的单调性；（3）根据以上结论猜测f（x）在[-2，0）上的单调性，不-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+x+4x，(x＞0)-x2-x+4x，(x＜0).（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2+x+4

x

，(x＞0)

-

x2-x+4

x

，(x＜0).

（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（0，2]上的单调性；
（3）根据以上结论猜测f（x）在[-2，0）上的单调性，不需要证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x＞0时，-x＜0，则f(x)=

x2+x+4

x

，f(-x)=-

(-x)2-(-x)+4

(-x)

=

x2+x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，则f(x)=-

x2-x+4

x

，f(-x)=-

(-x)2+(-x)+4

(-x)

=-

x2-x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（2）当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，
设x₂＞x₁＞0，则f(x 2)-f(x1)=

x2-x1

x1?x2

(x1?x2-4)．
当2≥x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴函数f（x）在（0，2]上是减函数．
（3）根据偶函数的图象的对称性可得，函数为增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+x+4x，(x＞0)-x2-x+4x，(x＜0).（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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