已知函数f（x）=loga1-mxx-1在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．（1）求出m的值，并求出定义域D；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=loga1-mxx-1在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．
（1）求出m的值，并求出定义域D；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．

试题来源：金山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以log_a

1-mx

x-1

=log_a

-x-1

1+mx

，…（2分）
即1-m²x²=1-x²对一切x∈D都成立，…（3分）
所以m²=1，m=±1，…（4分）
由于

1-mx

x-1

＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=log_a

1+x

x-1

，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）当a＞1时，f（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，…（7分）
则f（x₁）-f（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

2

x1-1

+1）-log_a（

2

x2-1

+1）…（9分）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以

2

x1-1

+1＞

2

x2-1

+1，得f（x₁）＞f（x₂），…（10分）
【注】只要写出x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=…=…，得出f（x₁）＞f（x₂）即可．
即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）
同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分）
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因为f（x）在（r，a-2）上为增函数，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=loga1-mxx-1在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：