已知a≠0，函数f(x)=13a2x3-ax2+23，g（x）=-ax+1，x∈R．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间(0，12]上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，试求正实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a≠0，函数f(x)=13a2x3-ax2+23，g（x）=-ax+1，x∈R．（I）求函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知a≠0，函数f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间(0，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，试求正实数a的取值范围．

试题来源：蓝山县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

求导得，f'（x）=a²x²-2ax．
①当a＞0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-

2

a

)＜0，解得0＜x＜

2

a

所以f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

在(0，

2

a

)上递减．
②当a＜0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-

2

a

)＜0可得

2

a

＜x＜0
所以f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

在(

2

a

，0)上递减．
综上：当a＞0时，f（x）单调递减区间为(0，

2

a

)；
当a＜0时，f（x）单调递减区间为(

2

a

，0)
（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

x∈(0，

1

2

]．
对F（x）求导，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因为x∈(0，

1

2

]，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F（x）在区间(0，

1

2

]上为增函数，则F(x)max=F(

1

2

)．
依题意，只需F（x）_max＞0，即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0，
即a²+6a-8＞0，解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）．
所以正实数a的取值范围是(-3+

17

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a≠0，函数f(x)=13a2x3-ax2+23，g（x）=-ax+1，x∈R．（I）求函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：