已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；（2）设A1，B1是A，B两点在x轴上的射-数学试题及答案

1、试题题目：已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax²+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；
（2）设A₁，B₁是A，B两点在x轴上的射影，求线段A₁B₁长的取值范围；
（3）求证：当x≤-

3

时，f（x）＜g（x）恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由

y=ax+b

y=ax2+bx+c

得ax²+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
设A₁（x₁，0）B₁（x₂，0）
∴|A₁B₁|=|x2-x1| =

(x2+x1)2-4x1x2

=

(

a-b

a

)2-4

c-b

a

=

(

c

a

-2) 2-4

，
易得

9

4

＜|A₁B₁|²＜12
即

3

2

＜|A₁B₁|＜2

3

．
（3）令h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，
对称轴为x=

a-b

a

=

2a+c

a

=2+

c

a

＞0，
∴h（x）在（-∞，-

3

）上单调递增，且h（-

3

）=（2+

3

）（2a+c）=（2+

3

）a（2+

c

a

）＞0
∴h（x）=ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，
即当x≤-

3

时，f（x）＜g（x）恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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