已知向量a=（cosx，sinx），b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．求：（1）a?b和|a-b|的取值范围；（2）函数f（x）=a?b-|a-b|的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a=（cosx，sinx），b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=(2cos

x

2

，-2sin

x

2

)，且x∈(-

π

9

，

2π

9

]．
求：（1）

a

?

b

和|

a

-

b

|的取值范围；
（2）函数f（x）=

a

?

b

-|

a

-

b

|的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

a

=（cosx，sinx），

b

=(2cos

x

2

，-2sin

x

2

)
∴a?b=cosx?2cos

x

2

+sinx?(-sin

x

2

)=2(cosx?cos

x

2

-sinx?sin

x

2

)=2cos

3x

2

又∵x∈(-

π

9

，

2π

9

]，
∴

3x

2

∈(-

π

6

，

π

3

]?cos

3x

2

∈[

1

2

，1]
∴2cos

3x

2

∈[1，2]即

a

?

b

∈[1，2]
∵|a-b|=

|a-b|2

=

(a-b)2

=

a2-2a?b+b2

=

(cos2x+sin2x)+(4cos2

x

2

+4sin2

x

2

)-2?2cos

3x

2

=

1+4-4cos

3x

2

=

5-4cos

3x

2

又∵cos

3x

2

∈[

1

2

，1]∴-4cos

3x

2

∈[-4，-2]
∴

5-4cos

3x

2

∈[1，

3

]；
（2）由（1）知：f（x）=

a

?

b

-|

a

-

b

|=2cos

3x

2

-

5-4cos

3x

2

设

5-4cos

3x

2

=t，则t2=5-4cos

3x

2

，2cos

3x

2

=

5-t2

2

∴f(x)=

5-t2

2

-t=-

1

2

t2-t+

5

2

=-

1

2

(t2+2t+1)+

5

2

+

1

2

=-

1

2

(t+1)2+3(t∈[1，

3

])
∴由图象可知：当t=

3

时，函数f（x）取得最小值f(x)min=-

1

2

(

3

+1)2+3=1-

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=（cosx，sinx），b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：