设函数．（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件；（II）若x∈（﹣∞，0）时，满足f（x）＜2a2﹣6恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数．（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设函数

．
（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件；
（II）若x∈（﹣∞，0）时，满足f（x）＜2a²﹣6恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）对函数）

求导，得

，
先证充分性：若0＜a＜1，∵1＜x＜2，∴x﹣a＞0，x+a＞0，
∴f'（x）＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）上递增．
再说明非必要性：∵f（x）在区间（1，2）上递增，
∴f'（x）≥0对1＜x＜2恒成立
即

对1＜x＜2恒成立，x²﹣a²≥0对1＜x＜2恒成立，
即a²≤x²对1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，
∴1＜x²＜4，
∴a²≤1，即﹣1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．
∴0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件
（II）由（I）知

，
令f'（x）=0，得x₁=a，x₂=﹣a
①当a=0时，f（x）=x，x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣6不能恒成立，不符合题意．
②当a＞0时，函数y=f（x）在（﹣∞，﹣a）上递增，在（﹣a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（﹣∞，0）上的极大值为f（﹣a）
若x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜2a²﹣6恒成立，
则需f（x）极大值=f（﹣a）＜2a²﹣6即﹣4a＜2a²﹣6，解得a＞1．
③当a＜0时，函数y=f（x）在（﹣∞，a）上递增，在（a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（﹣∞，0）上的极大值为f（a）
此时x∈（﹣∞，0），若满足f（x）＜2a²﹣6恒成立，
则需f（x）极大值=f（a）=0＜2a²﹣6
解得

故若x∈（﹣∞，0）时，满足f（x）＜2a²﹣6恒成立，
实数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数．（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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