已知函数f（x）=x3-3ax2-9a2x+a3．（1）设a=1，求函数f（x）的极值；（2）若a＞14，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax2-9a2x+a3．（1）设a=1，求函数f（x）的极值；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若a＞

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4

，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．

试题来源：宁夏试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x²-6x-9．
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3．
列表讨论f（x），f′（x）的变化情况：

魔方格

所以，f（x）的极大值是f（-1）=6，极小值是f（3）=-26．
（2）f′（x）=3x²-6ax-9a²的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．
若

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4

＜a≤1，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，
从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，最大值是f′（4a）=15a²．
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，于是有（1）=3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a．
由f′（1）≥-12a得-

1

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≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤

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.
所以a∈(

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，1]∩[-

1

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，1]∩[0，

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5

]，即a∈(

1

4

，

4

5

]．
若a＞1，则∵|f′（a）|=15a²＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立．
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是(

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，

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].

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax2-9a2x+a3．（1）设a=1，求函数f（x）的极值；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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