已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（I）用a表示出b，c；（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（I）用a表示出b，c；
（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

试题来源：湖北试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

y（Ⅰ）f′(x)=a-

b

x2

，
则有

f(l)=a+b+c=0

f′(l)=a-b=1

，
解得

b=a-1

c=l-2a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=ax+

a-1

x

+1-2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，x∈[1，+∞）
则g（l）=0，g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x-

1-a

a

)

x2

（i）当o＜a＜

1

2

，

1-a

a

＞1
若1＜x＜

1-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．
（ii）a≥

1

2

时，

1-a

a

≤l
若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx
综上所述，所求a的取值范围为[

1

2

，+∞)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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