已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；（3）对（2）中的函数f（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．（1）当x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设g(x)=log4(2x-1-

4

3

a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵x＞0时，F（x）=m（x）=log4(4x+1)，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴F（-x）=log4(4-x+1)，又F（x）为R上的奇函数，
∴-F（x）=log4(4-x+1)，即F（x）=-log4(4-x+1)…（3分）
（2）∵函数f（x）=m（x）+n（x）=log4(4x+1)+kx为偶函数，
∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，…（5分）
而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-

1

2

…（7分）
（3）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
∴方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(2x-1-

4

3

a)有且只有一个实根，…（8分）
化简得：方程2^x+

1

2x

=2^x-1-

4

3

a有且只有一个实根，…（9分）
令t=2^x＞0，则方程

1

2

t²+

4

3

at+1=0有且只有一个正根，
①△=0?a=-

3

2

4

，
②若一个正根和一个负根，不满足题意…（11分）
所以实数a的取值范围为{a|a=-

3

2

4

}…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．（1）当x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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