已知函数f（x）=lnx，g(x)=2a2x2（a＞0）（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数H(x)=f(x)+2g(x)图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；（Ⅲ）是-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g(x)=2a2x2（a＞0）（Ⅰ）若设F（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

2a2

x2

（a＞0）
（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数H(x)=f(x)+

2g(x)

图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数p(x)=

1

3

x3+x2+m-

2

3

的图象与q(x)=

3

2

f(x2)的图象恰好有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

2a2

x2

（x＞0），F′（x）=

1

x

-

4a2

x3

=

x2-4a2

x3

(x＞0)
∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的单调递增区间为（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+

2g(x)

=lnx+

2a

x

，H′（x）=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，----------------------（5分）
∵2a≥-x²+x，又x²-x≤

1

4

，2a≥-

1

4

，a≥

1

8

．
所以实数a的最小值为

1

8

．--------------------------（8分）
（III）若p（x）=

1

3

x3+x2+m-

2

3

的图象与q（x）=

3

2

f(x2)=

3

2

lnx2的图象恰有三个不同交点，
即

1

3

x3+x2+m-

2

3

=

3

2

lnx2有三个不同的根，
亦即m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三个不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

，
则G′（x）=

3

x

-x²-2x=

-(x-1)(x2+3x+3)

x

．
当x＜0时G'（x）＜0，所以G（x）单调递减，且当x→0时，G（x）→-∞，当x→-∞时，G（x）→+∞
当0＜x＜1时G'（x）＞0；
∴G（x）单调递增，且当x→0时，G（x）→-∞，
当x＞1时，G'（x）＜0；
∴G（x）单调递减，
∴当x=1时，G（x）的极大值G（1）=-

2

3

．
所以，当 m＜-

2

3

时，方程m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三个不同的解．--------------（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g(x)=2a2x2（a＞0）（Ⅰ）若设F（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：