已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（3）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[l，e]上的最小值．（其中-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（3）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[l，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

a(2-x)

x3

，(x≠0)，因为a＞0，所以由f'（x）＞0，得0＜x＜2，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．
（2）设切点坐标为（x₀，y₀，则

y0=

a(x0-1)

x0

x0-y0-1=0

a(2-x0)

x03

=1

，解得x₀=1，a=1．
（3）g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
则g'（x）=lnx+1-a，由g'（x）=lnx+1-a=0，解得x=e^a-1．
所以在区间（0，e^a-1）上，函数单调递减，在（e^a-1．，+∞）上，函数单调递增．
①当e^a-1．≤1，即0＜a≤1时，在区间[l，e]上g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（1）=0．
②当e^a-1．≥e，即a≥2时，在区间[l，e]上g（x）单调递减，所以g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．
③当1＜e^a-1．＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1．）=（a-1）e^a-1．-a（e^a-1．-1）=a-e^a-1．．
综上当0＜a≤1时，g（x）的最小值为g（1）=0．
当1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1．），
当≥2时，g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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