已知P是抛物线C：x2=2y上异于原点的一点．（1）过P点的切线l1与x轴、y轴分别交于点M、N，求PMMN的值；（2）过P点与切线l1垂直的直线l2与抛物线C交于另一点Q，且与x轴、y轴分别交于-数学试题及答案

1、试题题目：已知P是抛物线C：x2=2y上异于原点的一点．（1）过P点的切线l1与x轴、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知P是抛物线C：x²=2y上异于原点的一点．
（1）过P点的切线l₁与x轴、y轴分别交于点M、N，求

PM

MN

的值；
（2）过P点与切线l₁垂直的直线l₂与抛物线C交于另一点Q，且与x轴、y轴分别交于点S、T，求

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P(x0，

1

2

x

20

) (x0≠0)，
∵y'=x，故过点P的切线方程为y-

1

2

x

20

=x0(x-x0)，
令y=0得x=

x0

2

，
又N点的横坐标为0，故M为PN的中点，
∴

PM

MN

=1；（4分）
（2）设直线l：y=kx+b，由题意k≠0，b≠0则T（0，b）
分别过P，Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥x轴，垂足分别为P'，Q'，
则

ST

SP

+

ST

SQ

=

OT

P′P

+

OT

Q′Q

=

b

y1

+

b

y2

，
由

x2=2y

y=kx+b

消去x得y²-2（k²+b）y+b²=0
则

y1+y2=2(k2+b)

y1y2=b2

（7分）
∴

ST

SP

+

ST

SQ

=

b

y1

+

b

y2

≥2b

1

y1y2

=2b?

1

b

=2，（9分）
又y₁≠y₂，
∴

ST

SP

+

ST

SQ

的取值范围是（2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知P是抛物线C：x2=2y上异于原点的一点．（1）过P点的切线l1与x轴、..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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