已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）求实数a的取值范围．（Ⅱ）求证：x1＜-3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知过原点O作函数f（x）=e^x（x²-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求实数a的取值范围．
（Ⅱ）求证：x₁＜-3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=e^x（x²+x+a-1），
设切点为（x₀，y₀），则切线方程为：y-e^x₀（x₀²-x₀+a）=e^x₀（x₀²+x₀+a-1）（x-x₀），
代入（0，0）得x₀³+ax₀-a=0，
由题意知满足条件的切线恰有三条，
则方程x³+ax-a=0有三个不同的解．（2分）
令g（x）=x³+ax-a，g′（x）=3x²+a．
当a≥0时，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函数，则方程x³+ax-a=0有唯一解．（3分）
当a＜0时，由g′（x）=0得x=±

-

a

3

，g（x）在(-∞，-

-

a

3

)和(

-

a

3

，+∞)上是增函数，
在(-

-

a

3

，

-

a

3

)上是减函数
要使方程x³+ax-a=0有三个不同的根，
只需

g(-

-

a

3

)＞0

g(

-

a

3

)＜0.

(-

-

a

3

)3-a(

-

a

3

)-a＞0

(

-

a

3

)3+a

-

a

3

-a＜0.

（5分）
解得a＜-

27

4

．（6分）
（Ⅱ）∵g（x）=x³+ax-a，x→∞g(x)→∞g(-

-

a

3

)＞0，
由函数连续性知-∞＜x₁＜-

-

a

3

，（8分）
∵a＜-

27

4

，∴g（-3）=-27-4a＞0，（10分）
且-3＜-

-a

3

，∴x₁＜-3．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知过原点O作函数f（x）=ex（x2-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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