已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点（a＞2，b＞2），O为原点．（1）求证：（a-2）（b-2）=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小-数学试题及答案

1、试题题目：已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点（a＞2，b＞2），O为原点．
（1）求证：（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，∴其圆心为（1，1），半径为1依题设直线l：

x

a

+

y

b

=1，（2分）
由圆C与l相切得：1=

|a+b-ab|

a2+b2

?(a-2)(b-2)=2（4分）
（2）设线段AB中点为M(x，y)，由中点坐标公式得

x=

a

2

y=

b

2

?

a=2x

b=2y

．（6分）
代入（a-2）（b-2）=2可得2（x-1）（y-1）=1（x＞1）即为所求的轨迹方程．（8分）
（3）S△AOB=

1

2

ab．由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b)．（10分）a+b≥2

ab

?ab-4

ab

+2≥0?

ab

≥2+

2

．（11分）当且仅当a=b=2+

2

时，△AOB的面积的最小值为3+2

2

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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