已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过A（-2，0）、B（2，0）、C（1，32）三点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是射线y=2x(x≥23)上（非端点）任意一点，由点P向椭圆C引两条切-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过A（-2，0）、B（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-03 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是射线y=

2

x(x≥

2

3

)上（非端点）任意一点，由点P向椭圆C引两条切线PQ、PT（Q、T为切点），求证：直线QT的斜率为常数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆的标准方程与一般方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，
把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三点坐标代入解得

m=

1

4

n=1

，
故所求方程为.

x2

4

+y²=1．
（2）设点Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），设以Q为切点的椭圆的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），
联立

y-y1=k(x-x1)

x2+4y2=4

化简为关于（x-x₁）的一元二次方程，
得（1+4k²）（x-x₁）²+2（x₁+4ky₁）（x-x₁）+x₁²+4y₁²-4=0，
①若y₁≠0，因为直线与椭圆相切，所以△=4（x₁+4ky₁）²-4×（1+4k²）×0=0，k=-

x1

4y1

所以切线方程为y-y₁=-

x1

4y1

（x-x₁）．即直线的方程为x₁x+4y₁y-4=0．
又P（t，

2

t）（t＞

2

3

）在直线PQ上，所以tx₁+4

2

ty₁-4=0
即点Q（x₁，y₁）在直线tx+4

2

ty-4=0上．同理，点T（x₂，y₂）也在直线tx+4

2

ty-4=0上，
所以直线QT的方程为tx+4

2

ty-4=0，
所以k_QT=-

2

8

（常数）．
②若y₁=0，容易求得T（-

14

9

，

4

2

9

），Q（2，0）所以k_QT=-

2

8

（常数）
综上得，直线QT的斜率为常数-

2

8

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过A（-2，0）、B（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆的标准方程与一般方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆的标准方程与一般方程”。

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