已知点A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，点M满足BM=λMA(λ＞0)，直线OM交椭圆于C，D两点，（O为坐标原点），△ABC和△ABD的面积分别记为S1和S2．（1）若λ=1，求S1S-数学试题及答案

1、试题题目：已知点A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知点A，B分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，点M满足

BM

=λ

MA

(λ＞0)，直线OM交椭圆于C，D两点，（O为坐标原点），△ABC和△ABD的面积分别记为S₁和S₂．
（1）若λ=1，求

S1

S2

的值．
（2）当λ变化时，求

S1

S2

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵A（a，0），B（0，b），λ=1，
∴

BM

=

MA

（λ＞0），即M为线段AB的中点，
∴M（

a

2

，

b

2

），
故直线OM的方程为y=

b

a

x，与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1联立，整理得x²=

a2

2

，
于是C（

2

a

2

，

2

b

2

），D（-

2

a

2

，-

2

b

2

）．
∵AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∴点C（

2

a

2

，

2

b

2

）到直线AB的距离d=

|

2

ab+

2

ab-ab|

a2+b2

=

(

2

-1)|ab|

a2+b2

，
同理可求D（-

2

a

2

，-

2

b

2

）到直线AB的距离d′=

(

2

+1)|ab|

a2+b2

，
所以，

S1

S2

=

|d|

|d′|

=

(

2

-1)|ab|

a2+b2

(

2

+1)|ab|

a2+b2

=(

2

-1)2．
（2）设M（x₀，y₀），∵

BM

=λ

MA

（λ＞0），
∴（x₀，y₀-b）=λ（a-x₀，-y₀），
解得x₀=

λa

1+λ

，y₀=

b

1+λ

，
∴CD的方程为y=

b

λa

x，由

x2

a2

+

y2

b2

=1

y=

b

λa

x

得：（1+λ²）x²=λ²a²，
∴x=±

λ2a2

1+λ2

=±

λa

1+λ2

，
∴C（

λa

1+λ2

，

b

1+λ2

），D（-

λa

1+λ2

，-

b

1+λ2

），
设C（

λa

1+λ2

，

b

1+λ2

）到直线AB的距离为d，则d=

(

1+λ

1+λ2

-1)|ab|

a2+b2

，
设D（-

λa

1+λ2

，-

b

1+λ2

）到直线AB的距离为d′，则d′=

(

1+λ

1+λ2

+1)|ab|

a2+b2

，
∴

S1

S2

=

|d|

|d′|

=

1+λ-

1+λ2

1+λ+

1+λ2

=1-

2

1+λ2

1+λ+

1+λ2

=1-

2

1+λ

1+λ2

+1

=1-

2

(1+λ)2

1+λ2

+1

=1-

2

1+

2λ

1+λ2

+1

（λ＞0），
∵λ＞0，故1+λ²≥2λ，于是0＜

2λ

1+λ2

≤1，2＜1+

1+

2λ

1+λ2

≤1+

2

，
2（

2

-1）≤

2

1+

2λ

1+λ2

+1

＜1，-1＜-

2

1+

2λ

1+λ2

+1

≤2（1-

2

），
∴0＜1-

2

1+

2λ

1+λ2

+1

≤1+2（1-

2

）=3-2

2

（当且仅当λ=1时取等号）．
∴

S1

S2

的取值范围是（0，3-2

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：