过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．（I）求切线AP，AQ的方程；（Ⅱ）求证直线PQ过定点；（III）若a≠0，试求S△APQ|OA|的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．
（I）求切线AP，AQ的方程；
（Ⅱ）求证直线PQ过定点；
（III）若a≠0，试求

S△APQ

|OA|

的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设切点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由题意可得，KAP=

y1

x1-a

=

x

21

+1

x1-a

，由导数的几何意义可得，K_AP=2x₁
∴

x

21

+1

x1-a

=2x1
整理可得x₁²-2ax₁-1=0，同理可得x₂²-2ax₂-1=0
从而可得x₁，x₂是方程x²-2ax-1=0的两根
∴x=a±

1+a2

，KAP=2(a+

1+a2)

，KAQ=2(a-

1+a2

)
故可得切线AP方程为：y=2(a+

1+a2

)(x-a)，切线AQ的方程y=2(a-

1+a2

)(x-a)
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）
（Ⅲ）联立

y=2ax+2

y=x2+1

可得x²-2ax-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1
∴PQ=

1+4a2

?

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+4a2

?

4a2+4

点A（a，0）到直线PQ的距离d=

|2a2+2|

1+4a2

∴S△APQ=

1

2

PQ?d=

1

2

?

2|a2+1|

1+4a2

?

1+4a2

?

4a2+4

=2(1+a2)

1+a2

∴

S△APQ

|OA|

=

2(1+a2)

1+a2

|a|

令

1+a2

=t则t＞1
F（t）=

2t3

t2-1

，则令g（t）=F²（t）=

4t6

t2-1

（t＞1）
g′(t)=

12t5(t2-1)-2t6( t2-1)′

(t2-1)2

=

2t5(5t2-12)

(t2-1)2

（t＞1）
当t＞

12

5

时，函数g（t）单调递增，即F（t）单调递增
当1＜t＜

12

5

时，函数g（t）单调递减，即F（t）单调递减
∴当t=

12

5

时，函数F（t）有最小值

48

21

35

即

S△APQ

|OA|

的最小值

48

21

35

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：