已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|?|BM|cos2θ=3，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．（1）求曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|?|BM|cos2θ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|?|BM|cos²θ=3，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

试题来源：襄阳模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
由余弦定理可得|AM|²+|BM²|-2|AM|?|BM|cos2θ=4，
整理变形可得|AM|+|BM|=4，
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由

x=my+1

x2

4

+

y2

3

=1

得：（3m²+4）y²+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有S=

1

2

×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=48×

3m2+3

(3m2+4)2

令t=3m²+3，则t≥3，（y₁-y₂）²=

48

t+

1

t

+2

由于函数y=t+

1

t

在[3，+∞）上是增函数，∴t+

1

t

≥

10

3

故（y₁-y₂）²≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值为3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|?|BM|cos2θ..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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