已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是2-1，F到上顶点的距离为2，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是2-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是

2

-1，F到上顶点的距离为

2

，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（

CA

+

CB

）⊥

BA

，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可知a-c=

2

-1且

c2b2

=

2

，
解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1．
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为
y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，
得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

①
∴y1+y2=k(x1+x2-2)

-2k

2k2+1

，
∴

CA

+

CB

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(

4k2

2k2+1

-2m+

-2k2

2k2+1

)，
∵(

CA

+

CB

)⊥

AB

而AB的方向向量为（1，k），
∴

4k2

2k2+1

-2m+

-2k2

2k2+1

×k=0?(1-2m)k2=m
∴当0≤m＜

1

2

时，k=±

m

1-2m

，即存在这样的直线l；
当

1

2

≤m≤1时，k不存在，即不存在这样的直线l．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是2-..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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