已知F1（-1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF1F2的周长为6，记点P的轨迹为C1．抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）若过F2的直线l与抛物线C2交-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1（-1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF1F2的周长为6..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF₁F₂的周长为6，记点P的轨迹为C₁．抛物线C₂以F₂为焦点，顶点为坐标原点O．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若过F₂的直线l与抛物线C₂交于A，B两点，问在C₁上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF₂，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意可知，△PF₁F₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|，由于|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4，
由于|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，故点P的轨迹为C₁为以F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故b=

3

，
故C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1 (x≠±2)；C₂的方程为：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），设直线AB的方程为：x=my+1，kMA+kMB=

y0-y1

x0-x1

+

y0-y2

x0-x2

=2kMF2=

2y0

x0-1

，…（6分）
故

(y0-y1)(x0-my2-1)+(y0-y2)(x0-my1-1)

(x0-my1-1)(x0-my2-1)

=

2y0

x0-1

，
故-(y1+y2)(x0-1)2+my0(y1+y2)(x0-1)+2my1y2(x0-1)=2m2y0y1y2，…（8分）
由

x=my+1

y2=4x

，y²-4my-4=0，
故y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，…（10分）
故m（x₀+1）（x₀-my₀-1）=0，…（11分）
因为直线AB不经过点M，故x₀-my₀-1≠0，故m=0或x₀+1=0，…（12分）
当m=0时，C₁上除点(1，±

3

2

)外，均符合题意；…（13分）
当m≠0时，则当x₀=-1时，椭圆上存在两点M(-1，

3

2

)和M(-1，-

3

2

)都符合条件．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1（-1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF1F2的周长为6..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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