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1、试题题目：设数列{an}、{bn}满足a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn=2anbnan+bn．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-12 07:30:00

试题原文

设数列{an}、{bn}满足a1=4，a2=
5
2
，an+1=
an+bn
2
，bn=
2anbn
an+bn
．
（1）证明：an＞2，0＜bn＜2（n∈N*）；
（2）设cn=log3
an+2
an-2
，求数列{cn}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，数列{anbn}的前n项和为{Pn}，求证：Sn+Tn＜Pn+
8
3
．（n≥2）

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：对数函数的图象与性质



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（本题满分16分）
（1）∵an+1=
an+bn
2
，bn+1=
2anbn
an+bn
，
两式相乘得anbn=an+1bn+1，
∴{anbn}为常数列，∴anbn=a1b1=4；（2分）
∴bn=
4
an
，
∴an+1=
1
2
(an+
4
an
)＞2，
∴0＜bn＜2；
（若an=2，则an+1=2，从而可得{an}为常数列与a1=4矛盾）；（4分）
（2）∵cn=log3
an+2
an-2
，
∴cn+1=log3
an+1+2
an+1-2

=log3
1
2
an+
2
an
+2
1
2
an+
2
an
-2

=log3(
an+2
an-2
)2
=2log3(
an+2
an-2
)，
∴
cn+1
Cn
=
2log3(
an+2
an-2
)
log3(
an+2
an-2
)
=2，
∴{cn}为等比数列，
∵c1=1，∴cn=2n-1．（8分）
（3）由cn=2n-1，知an=2?
32n-1+1
32n-1-1
=2（1+
2
32n-1-1
）=2+
4
32n-1-1
，
令dn=
4
32n-1-1
，数列{dn}的前n项和为Dn，很显然只要证明Dn≤
8
3
，（n≥2），
∵n≥2，∴32n-1+1≥4．
∵dn=
4
32n-1-1
=
4
(32n-1)2-1
=
4
(32n-x+1)(32n-x-1)
≤
1
4
dn-1，
∴dn=
4
(32n-1+1)(32n-1)
≤
1
4
dn-1≤(
1
4
)2dn-2≤…≤(
1
4
)n-2d2，
所以Dn=d1+（d2+d3+…+dn）≤d1+[1+
1
4
+(
1
4
)2+…+(
1
4
)n-2]d2
≤2+
1
2
[1-(
1
4
)n-2]
1-
1
4
=2+
2
3
[1-(
1
4
)n-2]=
8
3
-
2
3
(
1
4
)n-2＜
8
3
，
所以Sn＜2n+
8
3
．（14分）
又anbn=4，bn＜2，故pn=4n，且Tn＜2n，
所以Sn+Tn＜2n+
8
3
+2n=4n+
8
3
=pn+
8
3
，n≥2．（16分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}、{bn}满足a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn=2anbnan+bn．..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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