已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|2的最大值；（2）如果对f（x2）f（x）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）求函数M(x)=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值；
（2）如果对f（x²）f（

x

）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
当x＞2时，f（x）＜g（x）；当0＜x≤2时，f（x）≥g（x），
∴M（x）=

3-2log2x，x＞2

log2x，0＜x≤2

当0＜x≤2时，M（x）的最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x=2时，M（x）取到最大值为1．
（2）由f（x²）f（

x

）＞kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k?log₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，
∴（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，2]恒成立．
①当t=0时，k∈R；
②当t∈（0，2]时，k＜

(3-4t)(3-t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15，
∵4t+

9

t

≥12，当且仅当4t=

9

t

，即t=

3

2

时取等号．
∴4t+

9

t

-15的最小值为-3，∴k＜-3．
综上k的取值范围是k＜-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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