已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2-2x-2的导函数为f‘（x）=-x3+2x2+x+d．（1）求实数a、b、c、d的值；（2）若函数y=f（x）在区间(m，m+12)上存在极值，求实数m的范围；（3）若函数y=log2[f（x）+-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2-2x-2的导函数为f‘（x）=-x3+2x2+x+d．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2的导函数为f'（x）=-x³+2x²+x+d．
（1）求实数a、b、c、d的值；
（2）若函数y=f（x）在区间(m，m+

1

2

)上存在极值，求实数m的范围；
（3）若函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2，
∴f′（x）=4ax³+3bx²+2cx-2=-x³+2x²+x+d．
可得4a=-1，3b=2，2c=1，d=-2，
∴a=-

1

4

，b=

2

3

，c=

1

2

，d=-2，
（2）由（1）知f（x）=-

1

4

x⁴+

2

3

x³+

1

2

x²-2x-2，
f′（x）=-x³+2x²+x-2=-（x+1）（x-1）（x-2），令f′（x）=0，
得x=-1或x=1或x=2，
列表得：
∴函数f（x）有极大值f（-1）=-

5

12

，f（2）=-

8

3

，极小值f（1）=-

37

12

；

x

（-∞，1）

-1

（-1，1）

1

（1，2）

2

（2，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

-

f（x）

增函数

f（-1）=-

5

12

减函数

f（1）=-

37

12

增函数

f（2）=-

8

3

减函数

∵函数y=f（x）在区间(m，m+

1

2

)上存在极值，
∴

m＜-1

-1＜m+

1

2

≤1

或

0＜m＜1

1＜m+

1

2

≤2

或

1≤m＜2

m+

1

2

＞2.

…（5分）
解得-

3

2

＜m＜-1或

1

2

＜m＜1或

3

2

＜m＜2．
故实数m∈(-

3

2

，-1)∪(

1

2

，1)∪(

3

2

，2)． …（6分）
（3）函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，有如下两种情况：
（ⅰ）当函数y=log₂[f（x）+p]的图象与x轴无交点时，
必须有：

f(x)+p＞0有解

f(x)+p=1无解

即

[f(x)+p]max＞0

1不在y=f(x)+p的值域里

而[f(x)+p]max=-

5

12

+p，
函数y=f（x）+p的值域为(-∞，-

5

12

+p]，
∴

-

5

12

+p＞0

1＞-

5

12

+p

解得

5

12

＜p＜

17

12

．
（ⅱ）当函数y=log₂[f（x）+p]的图象与y轴无交点时，
必须有：

f(x)+p＞0有解

log2[f(0)+p]不存在

即

[f(x)+p]max＞0

f(0)+p≤0或f(0)不存在 .

而f（0）=-2有意义，
∴

[f(x)+p]max＞0

f(0)+p≤0

即

-

5

12

+p＞0

-2+p≤0

解得

5

12

＜p≤2．
由（ⅰ）、（ⅱ）知，p的范围是：
{p|

5

12

＜p＜

17

12

}∩{p|

5

12

＜p≤2}={p|

5

12

＜p＜

17

12

}，
故实数p的取值范围是(

5

12

，

17

12

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2-2x-2的导函数为f‘（x）=-x3+2x2+x+d．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：