已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R，其图象C关于直线x=π4对称，又f（x）在区间[0，π6]上是单调函数．（1）求函数f（x）的表达式；（2）将图象C向右平移π4个单位后，-数学试题及答案

1、试题题目：已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-17 07:30:00

试题原文

已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R，其图象C关于直线x=

π

4

对称，又f（x）在区间[0，

π

6

]上是单调函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）将图象C向右平移

π

4

个单位后，得到函数y=g（x）的图象．
①化简，并求值：

1+f(20°)+g(20°)

1+f(20°)-g(20°)

+4f（10°）；
②若关于x的方程f（x）=g（x）+m在区间[0，

π

6

]上有唯一实根，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：已知三角函数值求角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=cos（ωx+φ）是R上的奇函数，得f（0）=cosφ=0．
又-π≤φ≤0，所以φ=-

π

2

．…（1分）
所以f（x）=cos（ωx-

π

2

）=sinωx．…（2分）
由y=f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，且ω＞0，得
ω?

π

4

=kπ+

π

2

（k∈N），解得ω=4k+2（k∈N）．①…（3分）
又f（x）在区间[0，

π

6

]上是单调函数，所以0≤ω?x≤ω?

π

6

≤

π

2

，
解得ω≤3．②…（4分）
由①②，得ω=2．所以f（x）=sin2x．…（5分）
（2）g（x）=f（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x．…（6分）
①原式=

1+sin40°-cos40°

1+sin40°+cos40°

+4sin20°
=

2sin20°(sin20°+cos20°)

2cos20°(sin20°+cos20°)

+4sin20°
=

sin20°

cos20°

+4sin20° …（7分）
=

sin20°

cos20°

+4sin20°?

cos20°

=

sin20°+2sin40°

cos20°

…（8分）
=

sin20°+2sin(60°-20°)

cos20°

…（9分）
=

sin20°+

3

cos20°-sin20°

cos20°

=

3

．…（10分）
②m=f（x）-g（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）．…（11分）
易知函数y=

2

sin（2x+

π

4

）在区间[0，

π

8

]上单调递增，在区间[

π

8

，

π

6

]上单调递减．…（12分）
又当x=0时，f（x）-g（x）=1；
当x=

π

8

时，f（x）-g（x）=

2

；
当x=

π

6

时，f（x）-g（x）=

3

+1

2

．…（13分）
故所求实数m的取值范围是m=

2

或1≤m＜

3

+1

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：